Funzioni di Hilbert di sottoschemi dello spazio proiettivo, ridotti e non ridotti

La  ricerca della funzione di Hilbert di unioni di spazi lineari, anche zero dimensionali, è agli inizi, in quanto non vi sono molti risultati in questo settore, tranne i lavori di Hartshorne e Hirschowitz sullʼunione di generiche rette nello spazio proiettivo e il fondamentale lavoro di Alexander e Hirschowitz sull'unione di punti doppi generici.
Tale studio, inoltre,  e' strettamente legato a quello della dimensione delle varietà multisecanti a varietà di Segre e di Segre-Veronese e allo studio delle varietà tangenziali e, più in generale, osculanti a varietà date.